简单的概率论回顾

Random Variables

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X：random variable. Represents a distribution of potential values 随机变量就是可能取很多值的一个数。

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X ~ p(x) probability density function (PDF). 随机变量的分布 Describes relative probability(x) of a random process choosing value 随机变量取一些值有大的概率，取另外一些值有小的概率。

Example: uniform PDF: all values over a domain are equally likely

随机变量可以以不同的概率取不同的值。

The average value that one obtains if repeatedly drawing samples from the random distribution.

期望就是不断地取随机变量，然后取他们的平均。

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前面能看出随机变量的取值可以是离散的（固定值），那么连续情况下怎么描述变量和分布呢？

上图函数中 y 的坐标不表示概率，而是任何一个点 x 周围取一个区域 dx 往上的连线，形成一个区域，这个区域才是概率。这条曲线叫做概率密度函数，简称 PDF，在蒙特卡洛积分中很重要。

概率密度函数下方形成的面积，积分为 1。

对于期望：任何一个取值 x 乘以它的概率密度并积分起来。

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前面讨论的是一个变量的分布和期望，如果考虑一个随机变量的函数 Y，满足概率密度 PDF，那么 Y 的期望是多少呢？

A function Y of a random variable X is also a random variable:

Expected value of a function of a random variable:

只要是求期望，就将 f(x) 乘以概率密度并且积起来。

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回顾概率论是为了解蒙特卡洛积分。