Biased vs. Unbiased Monte Carlo Estimators
积分的近似可能是有偏的，也可能是无偏的。反映到渲染上，会在光子映射的部分涉及到。
- An unbiased Monte Carlo technique does not have any systematic error
- The expected value of an unbiased estimator will always be the correct value, no matter how many samples are used
- 路径追踪用蒙特卡洛解积分，解不同的积分可以用不同数量的样本，但不管用多少样本，最后的期望、估计值都是定积分的值，一个无偏的估计。
- Otherwise, biased
- 如果估计出来的值、期望和最后要的值不一样，就是有偏的。
- One special case, the expected value converges to the correct value as infinite #samples are used — consistent
- 特殊情况：虽然取多少样本最后得到的结果都是有偏的，但极限的定义下，如果样本足够多，那么得出来的期望值会收敛到正确值。还是有偏的，但可以成为 consistent 一致的。
- We’ll look again at this page after introducing Photon Mapping
Bidirectional Path Tracing (BDPT) 双向路径追踪
之前的路径追踪，是根据光路可逆性，从相机开始路径追踪，产生路径连接相机和光源。
- Recall： a path connects the camera and the light
- BDPT 是单向路径追踪的拓展
- Traces sub-paths from both the camera and the light
- 会生成两个不同的半路径、子路径
- Connects the end points from both sub-paths
- 从光源打出 light sub-paths，从摄像机再生产一系列半路径。BDPT 将半路径的端点连起来，形成整个路径。
- 思想简单，但实现非常难，也比较慢。
在某些情况效果非常好。下图两种方法都用一个像素 32 个样本来产生。
- Suitable if the light transport is complex on the light’s side
- Difficult to implement & quite slow
光线追踪中，如果想要找到一条带有大量能量的路径，对于上图场景不太容易。因为光源往上面角落打，整个场景被间接光照亮。因为路径追踪第一个 bounce 是 diffuse，导致摄像机的光很难打到能量集中的区域去（左上角白色区域）。也就是说，当光线传播在光源这边容易算的时候，双向路径追踪效果才会好。
Metropolis Light Transport (MLT)
- A Markov Chain Monte Carlo (MCMC) application
- Jumping from the current sample to the next with some PDF
- Very good at locally exploring difficult light paths
- Key idea
- Locally perturb an existing path to get a new path
用统计学中采样的工具——马尔科夫链。
马尔科夫链可以根据一个样本，生成一个跟它靠近的下一个样本。在用这些样本来估计函数的值。
如果给定足够的时间，马尔科夫链的蒙特卡洛方法，可以生成一系列以任意函数为 PDF 生成的样本。
蒙特卡洛方法可以用任意 PDF 来采样一个函数是最合适的？
当采样的 PDF 和要积分的函数（f{x} p{x}）形状一致的时候，这时候得到的 variant 是最小的。马尔科夫链的方法就是，任何一个未知的函数都可以通过马尔科夫链的方法生成一系列样本，使得样本的分布与被积函数形状一致。
如果已经有一个路径，就可以产生周围更多相似的路径。这是局部的方法。
很多情况下效果不错，特别适合做复杂、困难的光路的传播，因为只要找到一条作为种子，就可以找到更多。
好处
- Works great with difficult light paths
- Also unbiased
左图场景中门半开，所有光都从门进来，只有一小部分是直接被照亮的，其他都是间接被照亮的。越难的场景 MLT 做得越好。
右图水底有波纹情况（Caustics），这种是光线聚焦打到游泳池的底部。光线要穿过水表面，有些光会聚焦到一部分，水面又能将其聚焦到一条线上，这种情况渲染起来很困难。因为游泳池底假设是 diffuse 的，光线就要先经过 specular 的水面，游泳池底能被看见，说明光线也要经过水面，再到 diffuse 水底，再到 specular 水面，最后到光源。这种路径叫 Specular-Diffuse-Specular （SDS） 。这样路径打到 diffuse 水底的时候不知道往哪去，只有很少一部分才能过水面和光源连线。这样很难，但只要找到一条光路，MLT 就能找到更多。
坏处
- Difficult to estimate the convergence rate
- 很难在理论分析最后收敛的速度，给了一幅图，那么要多少时间才能收敛呢？
- Does not guarantee equal convergence rate per pixel
- So, usually produces “dirty” results
- 所有像素都是局部的，都是自己做自己的，都没有关系，所以有些像素收敛得快，有些收敛得慢，因此图像看上去都比较脏，例如水盆里面的点和墙缝。
- Therefore, usually not used to render animations
- 上一帧和这一帧，两个地方各自有地方收敛或没收敛，看上去图片会抖得很厉害。
Photon Mapping 光子映射
有偏的估计
- A biased approach & A two-stage method
- Very good at handling Specular-Diffuse-Specular (SDS) paths and generating caustics
- 非常适合来渲染 Caustics，一系列的光聚焦后打到复杂物体上，出来后聚焦在一条线上。
光子映射实现方法有很多，下面提供其中一种。
- Stage 1 — photon tracing
- Emitting photons from the light source, bouncing them around, then recording photons on diffuse surfaces
- 从光源出发，光源无时无刻不在往外辐射光子，光子往各个地方打，一样反射和折射，但遇到 diffuse 物体就停下来。把所有光子整理起来
- Stage 2 — photon collection (final gathering)
- Shoot sub-paths from the camera, bouncing them around, until they hit diffuse surfaces
- 真正从眼睛（摄像机）出发，往各个地方打路径。这些路径也反射和折射，直到打到 diffuse 物体上。现在可以把两步结合起来做一个计算
- Calculation — local density estimation 计算局部的密度估计
- Idea: areas with more photons should be brighter
- 两步都打了光子，光子分布越集中越亮
- For each shading point, find the nearest N photons. Take the surface area they over
- 任何一个着色点，取周围最近的 n 个光子（位置我们都知道），nearest neighbor 问题。把所有光子组织成自上而下的加速结构模式，这样可以迅速定位一个点周围的光子。找到之后，算出 N 个光子占的面的面积，再算出光子密度。
- An easier understanding bias in rendering
- Biased == blurry
- Consistent == not blurry with infinite #samples
- Why not do a “const range” search for density estimation? 能不能着色点周围取面积，数多少个光子。
- 但这样得到的结果永远是不有偏的，也是不一致的。因为不管用多少亿个光子，只要确认了一个大小的范围，dA 永远不与 △A 相同，因为我们规定了面积，△A 不会自己变小。
- A combination of BDPT and Photon Mapping 把 BDPT 和光子映射结合起来
- Key idea
- Let’s not waste the sub-paths in BDPT if their end points cannot be connected but can be merged
- Use photon mapping to handle the merging of nearby “photons”
- Sometimes also called many-light approaches
- Key idea
- Lit surfaces can be treated as light sources
- Approach
- Shoot light sub-paths and assume the end point of each sub-path is a Virtual Point Light (VPL)
- Render the scene as usual using these VPLs
- Pros: fast and usually gives good results on diffuse scenes
- Cons
- Spikes will emerge when VPLs are close to shading points
- Cannot handle glossy materials
这样就可以用某一个 N 来考虑应该看到什么。但这就涉及到光子数量 N 取多少的问题。如果取少了，就会是很有噪声的图。取多了结果会糊。为什么？为什么光子映射是有偏的方法？因为在密度估计的时候，应该是算当前一个点密度是多少。在点旁边取微小面积来算多少个光子。但我们是靠周围光子来得到面积，正常来说两者相似，有限的数量和有限的面积，但只有在 dA 无限小才是正确的估计。
另外的问题是，当覆盖面积足够小就接近对，但什么时候 △A 很小？本来我打出一亿个光子，现在打出一千亿个光子，更多的光子辐射出去。在任何一个着色点周围找临近的一百个光子，那肯定很集中，这一百个光子就会覆盖更小的区域。
足够多的光子，最后能得出正确的结果，这也是为什么说是 consistent 的算法，但只要光子不是无限多，那么结果一定不是正确的，有点糊，因此是有偏的算法。
Vertex Connection and Merging(VCM)
BDPT 把路径分成两步，那么如果我们两个路径的端点最后非常接近（上图下方），在同一面上，那么 X2 不可能再弹到 X2*，这种路径不要浪费，认为其中一半过来的就是光子，用光子映射把另外一部分 Sub-path 路径给结合起来，就能得出更好的结果。
应用广泛，很多电影在用。
Instant Radiosity (IR) 实时辐射度算法
也被称为 many light 算法，很多光源的算法。
分析光线传播的时候，提到我们不太区分光线是反射来的、还是自己发出来的，它们都是光线都是 radiance。这样可以把已经被照亮的面（地方）认为是光源，并用来照亮别人。
例如上图，左1是光源，那么打到的地方也都可以认为是新的光源（左2）。那么当摄像机看到一个点的时候，就用所有光源来照亮这个着色点（左3），这样就是考虑了光线弹射，其他光源对其都是直接光照，用直接光照来得到间接光照的结果。
缝隙会发光，是因为距离平方项的关系。之前在推 Light sampling 的时候，把对立体角的采样改成了对面积的采样，面积乘以cos除以两点距离，当距离很接近的时候，就是除以了一个极接近零的数，结果会非常大。
不能做 Glossy 的物体，有一点镜面的做不了。