点乘 Dot (scalar) Product
对于单位向量，模都是 1，因此可以化简成：
符合交换律、结合律、分配律
Dot Product in Cartesian Coordinates 笛卡尔坐标系
Component-wise multiplication, then adding up
In 2D
In 3D
Dot Product in Graphics
- Find angle between two vectors (e.g. cosine of angle between light source and surface)
- Finding projection of one vector on another
向量叉乘 Cross (vector) Product
- Cross product is orthogonal to two initial vectors
- Direction determined by right-hand rule
- Useful in constructing coordinate systems (later)
向量叉乘得到的都是向量。
Properties
Cartesian Formula?
下面的知道就行
向量叉乘也可以写成矩阵形式：
中间的是 dual matrix of vector a，向量 a 与向量 b 的叉乘可以化为 a 的 dual matrix 与向量 b 的点乘
Cross Product in Graphics
- 判断左和右：叉乘可以判断一个向量是否在另一个向量左侧还是右侧（二维平面），右手坐标系下，如果向量 a 叉乘向量 b 结果 z 为正，说明 b 在 a 的左侧。
- 判断内和外：判断一个点在不在中间，可以顺时针看 ABC，对向量 AB 和 AP 叉乘，BC 和 BP，CA 和 CP，如果结果都同为正或同为负，说明点 P 在三个向量的同一侧，即使是逆时针 ACB 这么算向量叉乘，如果点 P 在三角形中，三个叉乘结果也应该是相同符号的（同是正或同是负）。
Orthonormal Bases / Coordinate Frames
- Important for representing points, positions, locations
- Often, many sets of coordinate systems
- Global, local, world, model, parts of model (head, hands, …)
- Critical issue is transforming between these systems/bases
- A topic for next week
Orthonormal Coordinate Frames 正交坐标系
三个单位向量。点乘结果都是 0，互相垂直。这样得到的结果就是右手的直角坐标系，三维的。
这样我们就可以把向量分解到三个轴上去，利用投影，投影用点积来算。
由于都是单位向量，因此点乘结果可以立刻得到 投影的长度 ( p 点乘 u 就等于 p 的长度乘以 cosθ)。
因此直角坐标系很好用。
Matrices 矩阵
- Magical 2D arrays that haunt in every CS course
- In Graphics, pervasively used to represent transformations
- Translation, rotation, shear, scale (more details in the next lecture)
What is a matrix
Array of numbers (m × n = m rows, n columns)
Addition and multiplication by a scalar are trivial: element by element
Matrix-Matrix Multiplication 矩阵的乘积
什么是能乘的矩阵？
#(number of) columns in A must = # rows in B
(M x N) (N x P) = (M x P)
第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相同。
Element in the product is the dot product of row i from A and column j from B
例如我们要得到 26 那个位置，二行四列的数，就从第一个矩阵的第二行，第二个矩阵的第四列，两个向量找到，求点积即可。 5*4+2*3=26
Properties
- Non-commutative 没有任何交换律（某些情况可以） (AB and BA are different in general)
- Associative and distributive 有结合律和分配律
Matrix-Vector Multiplication
如果向量是列向量，矩阵在左边，向量在右边，就有意义了。
- Treat vector as a column matrix (m×1)
- Key for transforming points (next lecture)
- Official spoiler: 2D reflection about y-axis
Transpose of a Matrix
Switch rows and columns (ij -> ji)
转置就是行和列互换。
性质：乘积的转置，要把顺序调过来，分别做转置
Identity Matrix and Inverses
单位矩阵，只有对角线有非零的元素，左上到右下。
矩阵的逆
逆矩阵的运算和转置的运算很相似，相当于先换位置，分别求逆，再相乘
Vector multiplication in Matrix form
向量的点乘和叉乘都可以写成矩阵形式。
点乘可以写成向量 a 转置和向量 b 相乘，得到的刚好是一个数。
Dot product?
叉乘也能写成矩阵形式，A^* dual matrix，通过这个矩阵乘以向量 b，就是叉乘的结果。
旋转的一个推导上，这步挺有用的。
Cross product?