Why: we want to solve an integral, but it can be too difficult to solve analytically.
给任何一个函数，算出定积分。
What & How: estimate the integral of a function by averaging random samples of the function’s value.
如果函数比较复杂，写不出解析式，如何求积分？
蒙特卡洛积分，随便取一个数，可以取到 f(x)。如果曲线就是一个长方形，那么高度就是 f(x)，长度就是 a 到 b。我们可以用长方形的面积来近似曲线围出来的面积，重复多次这个过程。假如采样到 xi，采样非常多次，每次长方形面积不相同，最后平均起来，就能得到近似的结果，在积分域内不断采样。
Example: Uniform Monte Carlo Estimator
如上图右下，如果 a~b 之间均匀地采样，那么采样用的 PDF 应该是各处相同的，为常数 C。因为 PDF 在积分域上积分起来结果是 1，那么 PDF 解出来为 1/b-a。
如果用蒙特卡洛积分来算，首先要知道 f(x) 和 p(x)，然后求 f(x) 除以 p(x) 求平均值即可。p(xi) 永远是 1/b-a。
蒙特卡洛积分要做的事情：在积分域内以一个 PDF 采样，采样的样本对应的 f(x) 和 p(x) 两个一除，求平均即可。任何的积分都能这么做，只需要对积分域之内，知道其采样点和 PDF 概率密度即可， N 越大越准确。