齐次坐标

平移变换非常特殊。

\begin{array}{l}x^{\prime}=x+t_{x} \\ y^{\prime}=y+t_{y}\end{array}

写出来简单，但是两个式子不能写成线性变换的形式。

\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]

只能写成：

\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}t_{x} \\ t_{y}\end{array}\right]

因此平移变换并不是线性变换。

但是我们不希望将平移变换看作一个特殊的例子，那么有没有办法将缩放、错切、平移等变换用一种统一的方式来表示？

💡

在计算机科学，永远要考虑“Trade-Off”。数据结构中不同降低时间复杂度的办法都会引入空间复杂度。如果两者都能低就很好，但更多时候是非此即彼的事情。“No Free Lunch Theory”。

引入齐次坐标，可以通过增加一个维度来将平移变换也写成矩阵乘一个点的形式。

💡

向量具有平移不变性，因此后面是

(x, y, 0)

，平移变换后也不变。

我们也可以通过

w

分量来推出我们操作的结果：

Valid operation if w-coordinate of result is 1 or 0

我们对向量的

w

扩充了定义：

\left(\begin{array}{c}x \\y \\w\end{array}\right)

是二维的点

\left(\begin{array}{c}x / w \\y / w \\1\end{array}\right)

，

w ≠ 0

Affine map = linear map + translation

\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}t_{x} \\ t_{y}\end{array}\right)

Using homogenous coordinates:

\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a & b & t_{x} \\ c & d & t_{y} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right)

\mathbf{S}\left(s_{x}, s_{y}\right)=\left(\begin{array}{ccc}s_{x} & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 \\ 0 & 0 & \text { 1 }\end{array}\right)

\mathbf{R}(\alpha)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)

\mathbf{T}\left(t_{x}, t_{y}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)

由上面两张图知道，复杂的变换可以由几个简单变换组合得到。

另外变换顺序是很重要的，不满足交换律。

R_{45} \cdot T_{(1,0)} \neq T_{(1,0)} \cdot R_{45}

矩阵是从右到左运算的：

T_{(1,0)} \cdot R_{45}\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} & 0 \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right]

矩阵没有交换律，但有结合律。

A_{n}\left(\ldots A_{2}\left(A_{1}(\mathbf{x})\right)\right)=\mathbf{A}_{n} \cdots \mathbf{A}_{2} \cdot \mathbf{A}_{1} \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right)

可以将

\mathbf{A}_{n} \cdots \mathbf{A}_{2} \cdot \mathbf{A}_{1}

结合成一个变换矩阵。

因此我们就通过组合变换矩阵，来表示一个复杂的变换。

变量也能分解，这也有好处，例如我们希望不绕着原点，而是绕着点 C 旋转，我们可以将其平移回原点，旋转，再平移到点 C，通过分解成这些变换来达到目的。

后面三维空间沿着任意轴旋转也可以这么考虑。