Forward Kinematics
如果我们要做动画的骨骼系统就需要用到运动学。这个系统能够表达跟人类似的拓扑结构（什么跟什么相连），我们能够定义各种的关节。
Articulated skeleton
- Topology (what’s connected to what)
- Geometric relations from joints
- Tree structure (in absence of loops)
其中关节分为三种：
Joint types
- Pin (1D rotation)
- 钉子钉上的关节，就是只要钉上钉子，就只能在钉住的平面内旋转。
- Ball (2D rotation)
- 有一个东西能包住一个球，这个球能任意的旋转，也就是说旋转可以不发生在平面内，比 Pin 多了自由度。
- Prismatic joint (translation)
- 可以拉长，可以有些移动
我们可以定义一些简单的关节模型，形成整个相连的复杂模型，我们还能形成一个整个树形的加速结构。
Example: simple two segment arm in 2D
假设问第一段旋转 °，第二段旋转 ° ，那第二段的尖端在哪？
Animator provides angles, and computer determines position p of end effector
Animator 告诉每个关节怎么运动，然后求出关节最后停的位置。
正向动力学，只要我们定义好各种连接方式，定义好位置，自然可以找到不同的位置，我们还能画出曲线随着时间 应该如何变化的曲线。
只要我们知道时间，知道 是多少，就知道尖端会停在哪。
Example Walk Cycle
正向运动学早就得到广泛应用了。
Kinematics Pros and Cons
Strengths
- Direct control is convenient
- 实现很容易，告诉一个位置，就能算出一个部件停在哪。
- Implementation is straightforward
Weaknesses
- Animation may be inconsistent with physics
- 运动学的定义都十分地物理（xx 旋转多少角度），艺术家不喜欢这样，艺术家喜欢的是拽一个东西拽到什么地方去，这样更方便去创造动画。
- Time consuming for artists
为了让艺术家们更好地使用这套系统，调骨骼等，就出来一个概念——逆运动学。
Inverse Kinematics
如下图，我们可以捏着尖端到处移动，它会自动调整关节的位置，使得它的尖端就在我们要的位置上。
Animator provides position of end-effector, and computer must determine joint angles that satisfy constraints
逆运动学就是告诉它 P 点位置，逆运动学要告诉我 。
Direct inverse kinematics: for two-segment arm, can solve for parameters analytically
但是解起来非常难，下面的式子只是一个关节连一个关节的情况，要是多连几个更复杂。
逆运动学的问题
逆运动学还有一些独特的问题。
Why is the problem hard?
- Multiple solutions in configuration space 它的解不唯一
- 例如我希望机器人的手在下图右上角，但有两个摆放方式。三个连在一块会有更多情况。
- Solutions may not always exist
- 如下图，尖端所有可能的位置只在外层的圈和内层的圈之间。如果要把尖端放在大圆外或小圆内，这是无解的。
优化方法
人们都会通过优化方法来找到位置。
例如我们可以调整 让端点停留在某个地方，现在要让目标到达某个地方，那我们应该如何反过来优化 ，这是个典型的优化问题。
优化问题可以用机器学习中的梯度下降的方法来解，我们知道离目标有多远，如果我们调整 ，我们可以让新的点往哪个地方去。 会影响最后的位置，这就是一个梯度。
正常情况下用牛顿法或者一些优化方法来做。
Numerical solution to general N-link IK problem
- Choose an initial configuration
- Define an error metric (e.g. square of distance between goal and current position)
- Compute gradient of error as function of configuration
- Apply gradient descent (or Newton’s method, or other optimization procedure)
Style-Based IK
逆运动学得到过广泛的应用。如下图，我们可以拖不同的位置让小人形成不同的形状。
