Forward Kinematics

如果我们要做动画的骨骼系统就需要用到运动学。这个系统能够表达跟人类似的拓扑结构（什么跟什么相连），我们能够定义各种的关节。

Articulated skeleton

Topology (what’s connected to what)

Geometric relations from joints

Tree structure (in absence of loops)

其中关节分为三种：

Joint types

Pin (1D rotation)

钉子钉上的关节，就是只要钉上钉子，就只能在钉住的平面内旋转。

Ball (2D rotation)

有一个东西能包住一个球，这个球能任意的旋转，也就是说旋转可以不发生在平面内，比 Pin 多了自由度。

Prismatic joint (translation)

可以拉长，可以有些移动

我们可以定义一些简单的关节模型，形成整个相连的复杂模型，我们还能形成一个整个树形的加速结构。

Example: simple two segment arm in 2D

假设问第一段旋转

θ_1

°，第二段旋转

θ_2

° ，那第二段的尖端在哪？

Animator provides angles, and computer determines position p of end effector

Animator 告诉每个关节怎么运动，然后求出关节最后停的位置。

💡

正向动力学，只要我们定义好各种连接方式，定义好位置，自然可以找到不同的位置，我们还能画出曲线随着时间

θ

应该如何变化的曲线。

只要我们知道时间，知道

θ_1 θ_2

是多少，就知道尖端会停在哪。

Example Walk Cycle

正向运动学早就得到广泛应用了。

Kinematics Pros and Cons

Strengths

Direct control is convenient

实现很容易，告诉一个位置，就能算出一个部件停在哪。

Implementation is straightforward

Weaknesses

Animation may be inconsistent with physics

运动学的定义都十分地物理（xx 旋转多少角度），艺术家不喜欢这样，艺术家喜欢的是拽一个东西拽到什么地方去，这样更方便去创造动画。

Time consuming for artists

📖

为了让艺术家们更好地使用这套系统，调骨骼等，就出来一个概念——逆运动学。

Inverse Kinematics

如下图，我们可以捏着尖端到处移动，它会自动调整关节的位置，使得它的尖端就在我们要的位置上。

Animator provides position of end-effector, and computer must determine joint angles that satisfy constraints

逆运动学就是告诉它 P 点位置，逆运动学要告诉我

θ_1 θ_2

。

Direct inverse kinematics: for two-segment arm, can solve for parameters analytically

但是解起来非常难，下面的式子只是一个关节连一个关节的情况，要是多连几个更复杂。

\theta_{2}=\cos ^{-1}\left(\frac{p_{z}^{2}+p_{x}^{2}-l_{1}^{2}-l_{2}^{2}}{2 l_{1} l_{2}}\right)

\theta_{1}=\frac{-p_{z} l_{2} \sin \left(\theta_{2}\right)+p_{x}\left(l_{1}+l_{2} \cos \left(\theta_{2}\right)\right)}{p_{x} l_{2} \sin \left(\theta_{2}\right)+p_{z}\left(l_{1}+l_{2} \cos \left(\theta_{2}\right)\right)}

逆运动学的问题

逆运动学还有一些独特的问题。

Why is the problem hard?

Multiple solutions in configuration space 它的解不唯一

例如我希望机器人的手在下图右上角，但有两个摆放方式。三个连在一块会有更多情况。

Solutions may not always exist

如下图，尖端所有可能的位置只在外层的圈和内层的圈之间。如果要把尖端放在大圆外或小圆内，这是无解的。

优化方法

人们都会通过优化方法来找到位置。

💡

例如我们可以调整

θ_1 θ_2

让端点停留在某个地方，现在要让目标到达某个地方，那我们应该如何反过来优化

θ_1 θ_2

，这是个典型的优化问题。优化问题可以用机器学习中的梯度下降的方法来解，我们知道离目标有多远，如果我们调整

θ_1 θ_2

，我们可以让新的点往哪个地方去。

θ_1 θ_2

会影响最后的位置，这就是一个梯度。正常情况下用牛顿法或者一些优化方法来做。

Numerical solution to general N-link IK problem

Choose an initial configuration

Define an error metric (e.g. square of distance between goal and current position)

Compute gradient of error as function of configuration

Apply gradient descent (or Newton’s method, or other optimization procedure)

Style-Based IK

逆运动学得到过广泛的应用。如下图，我们可以拖不同的位置让小人形成不同的形状。