Newton’s Law
最简单的物理，就是牛顿的运动定律。
应用在一个物体的一个质量、一个质点上的一个力 F 会获得一个加速度。它们的关系就是 ，有了加速度就能算速度，有了速度就能算位置。也就是说只要我们知道了物体上的力，以及一些初始条件，比如位置在哪，最初的速度是多少，那么我们就能动态地更新下一个位置。
模拟和仿真就是不断地推导和实现各种不同的物理公式，用作模拟，来计算出物体应该有的形状的变化或位置的改变。
Physically Based Animation
Generate motion of objects using numerical simulation
例如我们扔一个小球，我们知道会由重力的作用下形成一个抛物线，有重力就有加速度的影响，就会影响速度，从而影响位置。
对衣服来说，衣服由不同的网格来形成，我们知道在某一个顶点上会受到重力，由于顶点和其他顶点相连，肯定也会受到各种各样的作用力。虽然复杂，涉及到大量的碰撞检测，但把所有力都考虑在一块，算出受力模型，我们就能算出加速度，从而算出位置。
Example: Cloth Simulation
模拟得好的话，就肯定不会出现反物理的现象，例如衣服进到人的身体里面。
Example: Fluids
流体是在仿真领域研究非常多的话题，特别是对于水。
- 先模拟水是怎么运动的，水滴和各种地方是怎么形成的。
- 模拟了水的位置形状之后，还要去渲染。
正常来说这两步是割裂开的，正常来说我们不会去关心渲染是怎么做的，而是会去关心水花四溅是怎么做的。
Mass Spring System: Example of Modeling a Dynamic System
我们只要正确地建立物体的相互作用力，把作用力解释明白，自然就能模拟正确的效果。
这里介绍一个非常简单、实用的系统——质点弹簧系统（Mass Spring System）。
Example: Mass Spring Rope
把绳子模拟成很多个小弹簧连接在一块，我们可以让弹簧在重力的作用下来回打。
Example: Hair
这里关心的不是头发怎么样渲染得真实，而是在各种作用力下，头发会有怎样的变化。
例如下图中头发会受风力、重力，头发和头发之间也有摩擦力，当我们把各种力结合起来就有非常准确的效果。
Example: Mass Spring Mesh
质点弹簧系统还可以作为一块布，布既然是网格描述的，很自然地就能用质点弹簧系统来描述。如下图，我们还能在上面拽。
对一块布，只要我们建模得足够好，模拟的仿真是可以达到以假乱真的效果的。
下图中，左边是照片，右边是渲染仿真的效果，可以看到仿真的结果几乎是一致的。当然也会有区别，有区别也是肯定的，因为在真实世界中很多东西不是那么容易就能表示出来的。
A Simple Spring
质点弹簧系统是什么？
是一系列相互的点和弹簧。
质点弹簧系统最基础的单元是什么？
是一个弹簧左右连接的两个质点。
假设一个理想化的弹簧，没有长度，被拉开多长就会产生多大的力。
就是弹簧应用在 a 上，使得 a 往 b 方向去的作用力。这个作用力取决于 a 到 b 有多远，和定点 a 有关。同时还取决于这个作用力的方向，把弹簧从没有长度到拉长之后，就能看到式子中的 ，是 a 指向 b 的向量，向量本身和长度有关系，b-a 越长，力越大。这样就可以精确写出 a 点收到的往 b 方向去的力。是劲度系数。a 受到向右的力，那 b 受到的就是向左的力，两个力互为相反，这个就是胡克定律（Hooke’s Law）。
但是，没有弹簧是零长度的。
Non-Zero Length Spring
Spring with non-zero rest length
弹簧正常情况下都有一个长度，这个长度叫 Rest length，就是式子中的 。
归一化表示的是受力的方向，绝对值减 就是拉伸的长度。
在分析的时候，我们只需要考虑拉伸。
但是这样的话，弹簧会永远地震动下去，因为能量守恒，动能和势能一直在转换。如果用我们这个模型，只要我们拉开弹簧松手，弹簧就永远不会停。
Dot Notation for Derivatives
那我们就加入一个摩擦力，让它能停下来。
我们加入一个在物理仿真中常用的记号。平常我们会用 来表示位置， 表示速度（位置的一阶导数）。但在模拟仿真中会用点来表示， 表示速度， 表示加速度（位置的二阶导数，也就是速度的导数）。
Introducing Energy Loss
我们要加一个摩擦力让弹簧停下来，这个力就是 damping force。
想让一个物体停下来，那么力就要和运动的方向相反。因此 的方向和 速度相反。
- Behaves like viscous drag on motion
- Slows down motion in the direction of velocity
- is a damping coefficient
Problem: slows down all motion
- Want a rusty spring’s oscillations to slow down, but should it also fall to the ground more slowly?
但是这样又有问题：它会让所有运动都停下来。加入我们有弹簧 ab，ab 同步向右走。这样会出现 ab 之间没有相对的运动，也就是说弹簧一直没有拉伸，整个不会震动，但最后还是会被这个力停下来。也就是说这个摩擦力只能描述外部的力，不能描述弹簧之间内部的力。
另外，如果我们竖着拿着 ab 弹簧系统，一松手弹簧往地上掉，作为一个整体来说，下落的速度是定的，如果我们对 ab 都应用这个摩擦力，那么下落的就会越来越慢。
这个摩擦力描述不了弹簧内部的损耗。
Internal Damping for Spring
Damp only the internal, spring-driven motion
内部的摩擦力应该跟相对之间的运动有关系。
首先我们要知道摩擦力要做什么事，这个力希望弹簧恢复到正常长度。也就是说只要 a 和 b 被拉开了，a 就会想办法往 b 方向去靠。
假设我们拉开弹簧，那么就应该有个力应用在 b 方向上向左，那么可以下式中 描述的方向就是对的。那么这个力有多大？这肯定跟 a 和 b 的相对速度有关系， 中， 是a 指向 b 的单位向量， 是相对速度向量，向量点乘单位向量的结果，其实就是往一个方向上做投影，就可以得到投影的长度，也就是相对速度投影在 ab 方向的速度是多少。
为什么要做投影？因为相对速度本身还解决不了问题，有一些速度并不能让弹簧引起改变，例如按住 a，然后让 b 做圆周运动，b 的速度是垂直于方向 a 到 b 的，这时绝对不应该有弹簧内部摩擦力的损耗，从而让它停在它的自然长度上。
因此我们要把相对速度分解到沿着 ab 方向，这个相对速度才会对整个质点弹簧系统造成衰减。
- Viscous drag only on change in spring length
- Won’t slow group motion for the spring system (e.g. global translation or rotation of the group)
- Note: This is only one specific type of damping
之前拽弹簧的力跟长度有关系，但这个摩擦力跟长度没关系。
Structures from Springs
上面说的只是一种摩擦力，其实还有各种不同的摩擦力，但只要我们分析明白，能写出物理公式就没问题，剩下如何模拟的步骤相对简单。
我们这里的物理原理，都是对真实物理中存在的现象进行的一种抽象或简化。
如果现在用不同的弹簧想模拟一块布，就可以想下图这么连接。下图无限大，哪里都有连接。
但这个结构有问题。切边（shearing）会影响，也就是往对角一拽，形状就会改变。也就是说应用这种力，它就会发生这种形变，但真实的布不会这样。也就是说对于这种简单的结构来说，用来模拟布是不合理的。因为布可以抵抗切边这种力，不会影响形状。
如果有一种力可以让这个形状变得不是一个平面，这种我们叫 out-of-plane bending，就是让一个平面发生弯曲。一块布很难像纸一样对折，例如沿着对角线，两三角形对折到一块，折成一张纸。布本身有对抗这种折法，但目前这个结构是可以对折的。
首先来解决切变的问题，现在这个形状中加入斜的对角线，如果我们沿对角线拉的话，我们新加的蓝色的质点弹簧系统会压缩往里挤，整个形状会变瘦，弹簧会往外抵抗它，这算是解决了问题。但是这个结构不对称，对于一块布，我们从各个方向拉它，行为都应该是一致的。
虽然这个蓝色的线也能抵抗沿着下图线的对折，但是另外一个方向是不行的。
我们可以在另外一个方向再加线，但这样仍然不能抵抗非平面的弯曲。
如果我们沿着顶点竖着作折痕来对折，还是不会引起其他的变化，因此无法解决非平面弯曲的问题。
这里我们对任何一个点都跟隔了一个的点连线。加了之后，不管我们怎么弯曲平面，都会引起弹簧的长度发生变化。
红线的连接其实是非常弱的，本身不折也可以弯下来，例如布放在桌边也能自然垂下来。
也就是说红线不是说多强，而是强在布本身（蓝线）非常强，红线只是加了一点点来抵抗非平面弯折的事情。
这样，再加上各种摩擦力、本身的模型等，对于一块布，拿到空中放下落到地上，这部分的模拟是绝对够用了。
Example: Mass Spring Dress + Character
但这样还不足够精确，前面提到过布料的渲染：Cloth，有三个层级结构的缠绕，纤维缠绕形成 Ply，Ply 再经过缠绕形成 Yarn 线，线再通过不同的针织方法来编织形成不同真实的布料，其中还有旋转的东西。
物理模拟是对真实世界的一种表示方法，但通常都是简化的表示方法。
有没有除了质点弹簧系统其他的系统？有，比如有限元方法（Finite Element Method）。
Aside: FEM (Finite Element Method) Instead of Springs
有限元方法（Finite Element Method）被广泛地应用于车的碰撞，比如汽车厂商在发布新车之前会做一些模拟，撞向一些墙。接触墙的地方会受力，但为什么车到车尾巴都会被撞坏？因为力有传导的作用，这就好像热之间也有传导的作用。传导的过程，也就是扩散的过程，叫 defusing，很适合拿有限元方法来做。
有限元方法非常不好做，写起来头疼，但也是另一种对世界建模的方式，它讲的是一个力从一个地方扩散到另一个地方应该怎么样。
