Projection in Computer Graphics
- 3D to 2D
- Orthographic projection
- Perspective projection
Perspective projection vs. orthographic projection
Orthographic Projection 正交投影
方法一
A simple way of understanding
- Camera located at origin, looking at -Z, up at Y (looks familiar?)
- Drop Z coordinate
- Translate and scale the resulting rectangle to
将坐标中的 z 扔掉，如何区分物体的前和后？
感兴趣可以参考 Catlikecoding Render 1 中 Orthographic Camera 部分。
方法二
In general, we want to map a cuboid [l, r] x [b, t] x [f, n] to the “canonical (正则、规范、标准)” cube
我们在 轴上定义左和右 （左比右小）， 轴上定义下和上 （下比上小）， 轴上定义远和近 （远比近小）。
不管 x, y 多大，都将其映射到 之间。这也是个约定俗成的事情，能方便计算。这样任何空间中的长方体，都可以映射成一个标准的立方体。
这也是标准化设备坐标（NDC）的定义。
上面的左比右小是相对于 轴来说的，下比上小是相对于 轴说的，但 轴上不太直观，因为我们推导的 NDC 是右手坐标系，（相机）看的是 方向，因此一个面离我们远，说明 值更小。离我们近，说明 值更大。
在标准化设备坐标系中 OpenGL 使用的是左手坐标系，因为左手系在这一点上会比较方便，其 值离相机越近越小，也就是 。但也会造成别的问题，
Slightly different orders (to the “simple way”)
- Center cuboid by translating 移到原点
- Scale into “canonical” cube 映射到 [-1, 1]，也就是缩放
Translate (center to origin) first, then scale (length/width/height to 2) 因为 -1 到 1 的长度就是 2。
因此我们可以用一个平移矩阵和缩放矩阵来求出正交投影矩阵，先平移，再缩放：
如果把长方体范围缩成立方体，物体不会被拉伸吗？
会，这就涉及到另外一个变换。在所有变换做完之后，还要做一个视口变换，还要做一次拉伸。
Perspective Projection 透视投影
- Most common in Computer Graphics, art, visual system
- Further objects are smaller
- Parallel lines not parallel; converge to single point
平行线就是永不相交的两条线，但照片上铁轨是平行的，却交于一点。透视投影的情况下，一个平面相当于被投影到了另外一个平面上，这种情况下就不是平行线了。
Recall
- Before we move on
- Recall: property of homogeneous coordinates
- all represent the same point (x, y, z) in 3D
- 只要一个点乘于一个不为零的 k，那么它们还是一个点。那么我们还可以将其乘以 z，其表示的点还是空间中同样的点。下面我们会用到。
- e.g. (1, 0, 0, 1) and (2, 0, 0, 2) both represent (1, 0, 0)
- Simple, but useful
怎么做透视投影
How to do perspective projection
- First “squish” the frustum into a cuboid
- Do orthographic projection ( , already known!)
透视投影的视锥体中，远的平面比近的平面要大。
我们可以把远的平面往里“挤”，“挤”到同一高度且同近平面大小，“挤”成空间中的长方体，再做正交投影就解决了。
我们已经知道正交投影怎么做了，因此剩下的就是“挤”这个操作。
在这个过程中，需要规定：
- 近平面上任何一个点不变。
- Z 值不变
- 远平面的中心也不会发生变化
求出任何一个点挤压后的 值
要做“挤”的操作，首先要知道任何一个点的 值是怎么变化的。因为我们任何一个面都要挤成近平面大小，我们也可以将投影到近平面上求出变换后的 值。对于 值来说，这种变换是线性的。
因此，在视锥体的上面一部分中，我们可以通过相似三角形求出变换后的 值。（ 值不是线性变化的，后面会提到）
上图中， 为近平面的 值 ， 为任何一个点中的 值。
挤压后的 值，我们可以通过相似三角形原理得出：
同理可得挤压后的 值：
在齐次坐标系中，对于变换后的 我们只剩下 未知。
这里给矩阵乘了 ，其表示的点还是空间中同样的点。
也就是说 经过 矩阵“挤压”后，会被映射到 ：
根据上式，我们可以得出部分的 矩阵：
对于 ，我们不知道挤压后 会怎么变，我们只规定了近的平面上和远的平面上 不变。
Observation: the third row is responsible for z’
- Any point on the near plane will not change
- 近平面的点不变，对于任何 运算完了一定还是
- Any point’s z on the far plane will not change
- 远平面的点，虽然 会变化，但是 没有变。
求出任何一个点挤压后的 值
由“近平面的点不变，对于任何 运算完了一定还是 ”可得：
这里给矩阵乘了 n，其表示的点还是空间中同样的点。
因此 第三行一定是 的形式，因为：
由上式可得：
前面我们已经知道第三行前两个数是 0。
我们前面已经规定了远平面的中心经过 变换后也不会发生变化。
另外一个等式可以用远平面可以用其特殊的中心点得出，给中心点再乘个 可得：
由上式可得：
根据两式可得 ：
平截头体（Frustum）被压缩成长方体以后，内部的点的 值是更偏向于近平面还是更偏向于远平面？
定义视锥
前面提到了长方体近平面的 l, r, b, t (left, right, bottom, top)，有没有更好的方法去定义这些呢？
vertical field-of-view (fovY) and aspect ratio
我们现实中相机有视角的定义，也就是可以看到的角度的范围，也就是 field of view。广角相机就是可视角度比较大，对于视锥体来说，就是张的比较开。
垂直的可视角度就是 fovY。而相机的长宽比就是 aspect ratio。
我们也可以通过 fovY 和 aspect ratio，来推出水平的可视角度。
How to convert from fovY and aspect to l, r, b, t?
上图中，夹角为 ，红点坐标为， 为屏幕高度的一半，那么根据三角函数的定义就可以得出：
完成推导正交投影矩阵
正交投影没有 fovY，在 Unity 中，正交投影的参数由 Camera 组件中的参数 Size, Near, Far（Viewport Rect 暂时忽略）和 Game 视图的横纵比（aspect ratio）共同决定。
这里的 Near 是近裁面的距离，也就是 ，Far 同理，等于 。
Size 属性用来更改视锥体竖直方向上高度的一半，也就是前面近平面的高度 。
由此可得正交投影近远平面的高度 为：
正交投影近远平面的宽度 为：
注意：这里的 和 是 轴上的，代表近裁面和远裁面的 值，值为负数。
完成推导透视投影矩阵
前面已经得出：
注意：这里的 和 是 轴上的，代表近裁面和远裁面的 值，值为负数。
通常我们透视投影的参数除了近裁面远裁面的距离外，还会有 和 ，且 ，因此整理公式可得：
对投影变换的两种变换的推导，大家可以用 n, f 代表近远平面的距离来再推一遍。